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      上海交通大學-高等數學課程-樂經良

      • 名稱:上海交通大學-高等數學課程
      • 分類:考研數學  
      • 觀看人數:加載中
      • 時間:2019/3/25 11:32:04

                   《高等數學》課程是理工科各專業的必修課程。本課程不僅為學生提供了學習相關專業所需的必備基礎,也是培養學生的數學素養、理性思維、邏輯推理能力的主要載體,同時在培養科學審美意識等方面發揮著獨特的作用。目前我校已在理、工、經、管類的多個專業開設了《高等數學》課程,授課面占全校學生總數的80%以上。同時《高等數學》也是信息、物理、化學、經濟、教育、管理等方向各專業的考研必考課程。

      1. 課程的重點
      本課程的研究對象是函數,而研究問題的根本方法是極限方法,極限方法貫穿于整個課程。本課程的重點是教會學生在掌握必要的數學知識(如導數與微分、定積分與重積分、曲線積分與曲面積分以及級數理論等)的同時,培養學生應用數學的思想方法解決實際問題的意識、興趣和創新能力。具體如下:
       
       1.1 重要概念:函數、復合函數、極限、連續、導數、微分、極值、原函數與不定積分、定積分、變上限的積分作為其上限的函數、空間直角坐標系、向量的概念及其表示、二次曲面方程、二元函數、二元函數偏導數與全微分、二元函數極值與條件極值、二重積分、兩類曲線積分、無窮級數收斂、發散以及和;
      1.2 重要理論:羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,變上限的積分求導定理,二階線性微分方程解的結構;
      1.3 重要方法:極限的有理運算法則,導數的有理運算法則和復合函數的求導法,基本初等函數的導數公式,初等函數一階、二階導數的求法,用導數判斷函數的單調性和求極值的方法,牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式,不定積分的基本公式以及求不定積分、定積分的換元法與分部積分法,科學技術問題中建立定積分表達式的元素法(微元法),向量的運算(線性運算、數量積、向量積),單位向量、方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式進行向量運算的方法,平面的方程和直線的方程及其求法,復合函數一階偏導數的求法,二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標),格林(Green)公式,正項級數的比值審斂法,簡單冪級數收斂區間的求法,變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法,二階常系數齊次線性微分方程的解法。 
       2. 課程的難點
       本課程的教學難點在于由實際問題抽象出有關概念和其中所蘊涵的數學思想,培養學生應用數學的思想方法解決實際問題的意識、興趣和能力;一元函數的極限定義并用定義證明極限、微分中值定理證明題、定積分的應用、多元復合抽象函數的求偏導、三重積分和曲面積分,根據實際問題建立微分方程等內容是高等數學學習過程中的難點。具體如下:
       極限的定義,兩個重要極限,用等價無窮小求極限,閉區間上連續函數的介值定理與最大值、 最小值定理,高階導數,隱函數和由參數方程所確定的函數的一階導數,羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,用洛必達(L"Hospital)法則求不定式的極限,泰勒(Taylor)定理,最大值與最小值的應用問題,積分中值定理,變上限的積分求導定理,兩類反常積分,全微分存在的必要條件與充分條件,求抽象復合函數的二階導數,隱函數(包括由兩個方程構成的方程組確定的隱函數)的偏導數計算,條件極值的拉格朗日乘數法,三重積分的球面坐標計算,平面線積分與路徑無關的條件,格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式,無窮級數的基本性質及收斂的必要條件,正項級數的比較審斂法,交錯級數的萊布尼茨定理,將一些簡單的數展開成冪級數,函數展開為傅里葉(Fourier)級數的狄利克雷(Dirichlet)條件,二階常系數非齊次線性微分方程的特解。
       3. 解決辦法
       對于師范院校理工科類高等數學,講授時一般以物理、力學和工程中的數學模型為背景引出問題,采取啟發式教學以及現代化教學手段,講清思想,加強基礎;注意連續和離散的關系,加強函數的離散化處理,注意培養學生研究問題和解決實際問題的能力;注意教學內容與建立數學模型之間的聯系。在微積分學的應用中,更是關注物理模型的建立和研究思想。曲線與曲面積分的有關內容,在講授時,更加注意可接受性,采用由直觀到抽象、由特殊到一般的方法循序漸進,逐步深入。
      另外,重點、難點內容多配備題目,課堂講解通過典型例題的分析過程和解決過程掌握重點、突破難點;課外還布置一定量的練習題;每周各班均安排一次答疑時間。
       
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