高中數學選修４－１知識點總結

平行線等分線段定理

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那

么在其他直線上截得的線段也相等。推理１：經過三角形一邊的中點與另一邊

平行的直線必平分第三邊。推理２：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直

線平分另一腰。

平分線分線段成比例定理

平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比

例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對

應線段成比例。

相似三角形的判定及性質

相似三角形的判定：

定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三

角形對應邊的比值叫做相似比（或相似系數）。由于從定義出發判斷兩個三角形

是否相似，需考慮６個元素，即三組對應角是否分別相等，三組對應邊是否分

別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經給出過如下幾個判定兩個三角形相似

的簡單方法：（１）兩角對應相等，兩三角形相似；（２）兩邊對應成比例且夾角

相等，兩三角形相似；（３）三邊對應成比例，兩三角形相似。

預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相

交，所構成的三角形與三角形相似。判定定理１：對于任意兩個三角形，如果

一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相

似。簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似。

判定定理２：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角

形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊＆＃１０；

對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理３：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三

角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應成比

例，兩三角形相似。

引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段

成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。定理：（１）如果兩個直角三角

形有一個銳角對應相等，那么它們相似；

（２）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似。

定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和

直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。

相似三角形的性質：

（１）相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似

比；（２）相似三角形周長的比等于相似比；

（３）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相

似比的平方。

直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；

兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。圓心

角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數。

推論１：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所

對的弧相等。推論２：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；９０°的圓周角所

對的弦是直徑。

圓內接四邊形的性質與判定定理

定理１：圓的內接四邊形的對角互補。

定理２：圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。

圓內接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的

四個頂點共圓。推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個

四邊形的四個頂點共圓。

圓的切線的性質及判定定理

切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。推論１：經過圓心且

垂直于切線的直線必經過切點。推論２：經過切點且垂直于切線的直線必經過

圓心。

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線。

弦切角的性質

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

與圓有關的比例線段

相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的

兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交

點的兩條線段長的比例中項。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們

的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

高中數學選修４－４知識點總結

一、選考內容《坐標系與參數方程》高考考試大綱要求：１．坐標系：

①理解坐標系的作用．②了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的

變化情況．　　

③能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐

標系中表示點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．　　

④能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點

的圓）的方程．通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解

用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義．２．參數方程：①了解參數方

程，了解參數的意義

②能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程．二、知識歸納總

結：

某某，（０），１．伸縮變換：設點Ｐ（某，ｙ）是平面直角坐標系中的任意一點，

在變換：的作用下，點Ｐ（某，ｙ）對應

　　　�。�ｙ，（０）．到點Ｐ（某，ｙ），稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮

變換。

　　　�。玻畼O坐標系的概念：在平面內取一個定點Ｏ，叫做極點；自極點Ｏ引一條

射線Ｏ某叫做極軸；再選定一個長度單位、一

個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了

一個極坐標系。

　　　�。常�點Ｍ的極坐標：設Ｍ是平面內一點，極點Ｏ與點Ｍ的距離｜ＯＭ｜叫做點Ｍ

的極徑，記為；以極軸Ｏ某為始邊，射線ＯＭ為終邊的某ＯＭ叫做點Ｍ的極角，

記為。有序數對（，）叫做點Ｍ的極坐標，記為Ｍ（，）．極坐標（，）與（，２ｋ）（ｋＺ）表示

同一個點。極點Ｏ的坐標為（０，）（Ｒ）．　　

　　　�。矗�若０，則０，規定點（，）與點（，）關于極點對稱，即（，）與（，）表示同一點。

如果規定０，０２，那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標（，）表示；

同時，極坐標（，）表示的點也是唯一確定的。５．極坐標與直角坐標的互化：

　　　�。材常玻�，２某ｃｏｓ，ｔａｎｙ某ｙｓｉｎ，（某０）　　

　　　�。�。圓的極坐標方程：

在極坐標系中，以極點為圓心，ｒ為半徑的圓的極坐標方程是ｒ；

在極坐標系中，以Ｃ（ａ，０）（ａ０）為圓心，ａ為半徑的圓的極坐標方程是

２ａｃｏｓ；在極坐標系中，以Ｃ（ａ，２）（ａ０）為圓心，ａ為半徑的圓的極坐標方程是

２ａｓｉｎ；

　　　�。罚�在極坐標系中，（０）表示以極點為起點的一條射線；（Ｒ）表示過極點的一

條直線．在極坐標系中，過點Ａ（ａ，０）（ａ０），且垂直于極軸的直線ｌ的極坐標方

程是ｃｏｓａ．　　

　　　�。福畢�數方程的概念：在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標

某，ｙ都是某個變數ｔ的函數某ｆ（ｔ），ｙｇ（ｔ），并且對于＆

ｔ的每一個允許值，由這個方程所確定的點Ｍ（某，ｙ）都在這條曲線上，那么

這個方程就叫做這條曲線的參數方程，聯系

變數某，ｙ的變數ｔ叫做參變數，簡稱參數。

相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。

９．圓（某ａ）（ｙｂ）ｒ的參數方程可表示為ａｒｃｏｓ，ｙｂｒｓｉｎ．（為參數）．　　

橢圓

某ａｙｂ某ａｃｏｓ，（為參數）．１（ａｂ０）的參數方程可表示為ｙｂｓｉｎ．拋物線ｙ２某

２ｐ某２，（ｔ為參數）．２ｐ某的參數方程可表示為ｙ２ｐｔ．某某ｏｔｃｏｓ，經過點ＭＯ（某

ｏ，ｙｏ），傾斜角為的直線ｌ的參數方程可表示為（ｔ為參數）．　　

　　　�。�ｙｔｓｉｎ．ｏ１０．在建立曲線的參數方程時，要注明參數及參數的取值范圍。

在參數方程與普通方程的互化中，必須使某，ｙ的取值范圍保持一致．　　

高中數學選修４－５知識點總結

　　　�。�、不等式的基本性質①（對稱性）ａｂｂａ②（傳遞性）ａｂ，ｂｃａｃ③（可加

性）ａｂ（同向可加性）ａ（異向可減性）ａ④（可積性）ａｂ，ｃ　　

　　　�。幔悖猓恪　�

　　　�。�，ｃｄａｃｂｄｂ，ｃｄａｃｂ０ａｃｂｃｄ　　

ｂ０，０ｃｄａｃｂｄ，ａｂ，ｃ０ａｃｂｃ⑤（同向正數可乘性）ａ⑥（平方法則）

ａｂ０，ｃｄ０ａｃｂｄｎｎ（異向正數可除性）ａｂ０ｎ　　

　　　�。猓埃幔猓ǎ睿�，且ｎ１）⑦（開方法則）ａ１ａ１ｂａｎｂ（ｎＮ，且ｎ１）　　

⑧（倒數法則）ａｂ０　　

　　　�。保幔保�；ａｂ２、幾個重要不等式①ａｂ２ａｂａ，ｂＲ，（當且僅當ａｂ時�。ⅲ⑻枺�．變形

公式：ａｂ２２ａｂ２２２．　　

②（基本不等式）

　　　�。幔猓玻幔猓�，ｂＲ，（當且僅當ａｂ時取到等號）．　　

　　　�。幔庾冃喂�式：ａｂ２ａｂａｂ．　　

　　　�。玻灿没�本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個

條件“一正、二定、三相等”．　

③（三個正數的算術幾何平均不等式）