線性代數知識點總結

1 行列式

（一）行列式概念和性質

1、逆序數：所有的逆序的總數

2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數和

3、行列式性質：（用于化簡行列式）

（1）行列互換（轉置），行列式的值不變

（2）兩行（列）互換，行列式變號

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。

（6）兩行成比例，行列式的值為0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積

5、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘 

6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則

7、n階（n≥2）范德蒙德行列式

數學歸納法證明

★8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：

（三）按行（列）展開

9、按行展開定理：

（1）任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=kn|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|AT|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，則   

（7）若A與B相似，則|A|=|B|

（五）克萊姆法則

 11、克萊姆法則：

（1）非齊次線性方程組的系數行列式不為0，那么方程為唯一解

（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數行列式必為0

（3）若齊次線性方程組的系數行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。

2 矩陣

（一）矩陣的運算

1、矩陣乘法注意事項：

（1）矩陣乘法要求前列后行一致；

（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

2、轉置的性質（5條）

（1）（A+B）T=AT+BT

（2）（kA）T=kAT

（3）（AB）T=BTAT

（4）|A|T=|A|

（5）（AT）T=A

（二）矩陣的逆

3、逆的定義：

AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1

注：A可逆的充要條件是|A|≠0

4、逆的性質：（5條）

（1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)

（2）（AB）-1=B-1·A-1

（3）|A-1|=|A|-1

（4）（AT）-1=（A-1）T

（5）（A-1）-1=A

5、逆的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解

（2）A為數字矩陣：（A|E）初等行變換（E|A-1）

（三）矩陣的初等變換

6、初等行（列）變換定義：

（1）兩行（列）互換；

（2）一行（列）乘非零常數c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩陣：單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣。

8、初等變換與初等矩陣的性質：

（1）初等行（列）變換相當于左（右）乘相應的初等矩陣

（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）

★（四）矩陣的秩

9、秩的定義：非零子式的最高階數

注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O

（2）r（An×n）=n（滿秩） |A|≠0A可逆；

r（A）＜n|A|=0A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）r階子式非零且所有r+1子式均為0。

10、秩的性質：（7條）

（1）A為m×n階矩陣，則r（A）≤min（m,n）

（2）r（A±B）≤r（A）±（B）

（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}

（4）r（kA）=r（A）（k≠0）

（5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣）

（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）

（7）設A是m×n階矩陣，B是n×s矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n

11、秩的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解；

（2）A為數字矩陣：A初等行變換階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數

（五）伴隨矩陣

12、伴隨矩陣的性質：（8條）

（1）AA*=A*A=|A|E     ★A*=|A|A-1

（2）（kA）*=kn-1A*

（3）（AB）*=B*A*

（4）|A*|=|A|n-1

（5）（AT）*=（A*）T

（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1

（7）（A*）*=|A|n-2·A

★（8）r（A*）=n   （r（A）=n）；

       r（A*）=1   （r（A）=n-1）；

       r（A*）=0   （r（A）＜n-1）

（六）分塊矩陣

13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。

14、分塊矩陣求逆：

3 向量

（一）向量的概念及運算

1、向量的內積：（α，β）=αTβ=βTα

2、長度定義： ||α||=

3、正交定義：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0

4、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E  A-1=AT  ATA=E  |A|=±1

（二）線性組合和線性表示

5、線性表示的充要條件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示

(1)非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

(2)r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）

6、線性表示的充分條件：（了解即可）

若α1，α2，…，αs線性無關，α1，α2，…，αs，β線性相關，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。

7、線性表示的求法：（大題第二步）

設α1，α2，…，αs線性無關，β可由其線性表示。

（α1，α2，…，αs|β）初等行變換（行最簡形|系數）

行最簡形：每行第一個非0的數為1，其余元素均為0

（三）線性相關和線性無關

8、線性相關注意事項：

（1）α線性相關α=0

（2）α1，α2線性相關α1，α2成比例

9、線性相關的充要條件：

向量組α1，α2，…，αs線性相關

（1）有個向量可由其余向量線性表示；

（2）齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

（3）r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于個數

特別地，n個n維列向量α1，α2，…，αn線性相關

（1）r（α1，α2，…，αn）＜n

（2）|α1，α2，…，αn|=0

（3）（α1，α2，…，αn）不可逆

10、線性相關的充分條件：

（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關

（2）部分相關，則整體相關

（3）高維相關，則低維相關

（4）以少表多，多必相關

推論：n+1個n維向量一定線性相關

11、線性無關的充要條件

向量組α1，α2，…，αs線性無關

（1）任意向量均不能由其余向量線性表示；

（2）齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）r（α1，α2，…，αs）=s

特別地，n個n維向量α1，α2，…，αn線性無關

r（α1，α2，…，αn）=n   |α1，α2，…，αn|≠0  矩陣可逆

12、線性無關的充分條件：

（1）整體無關，部分無關

（2）低維無關，高維無關

（3）正交的非零向量組線性無關

（4）不同特征值的特征向量無關

13、線性相關、線性無關判定

（1）定義法

（2）秩：若小于階數，線性相關；若等于階數，線性無關

【專業知識補充】

（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。

（2）若n維列向量α1，α2，α3線性無關，β1，β2，β3可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無關。

r（β1，β2，β3）=3  r（C）=3  |C|≠0

（四）極大線性無關組與向量組的秩

14、極大線性無關組不唯一

15、向量組的秩:極大無關組中向量的個數成為向量組的秩

對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數

注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

16、極大線性無關組的求法

（1）α1，α2，…，αs為抽象的：定義法

（2）α1，α2，…，αs為數字的：

（α1，α2，…，αs）初等行變換階梯型矩陣

則每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組

（五）向量空間

17、基（就是極大線性無關組）變換公式：

若α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n

其中，C是從基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

18、坐標變換公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn的坐標分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1+ x2α2+ …+xnαn=y1β1 +y2β2 +… +ynβn，則坐標變換公式為x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

（六）Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

設α1，α2，α3線性無關

（1）正交化

令β1=α1

（2）單位化

4 線性方程組

（一）方程組的表達形與解向量

1、解的形式：

(1)一般形式

(2)矩陣形式：Ax=b；

(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）

2、解的定義：

若η=（c1，c2，…，cn）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個解（向量）

（二）解的判定與性質

3、齊次方程組：

（1）只有零解r（A）=n（n為A的列數或是未知數x的個數）

（2）有非零解r（A）＜n

4、非齊次方程組：

（1）無解r（A）＜r（A|b）r（A）=r（A）-1

（2）唯一解r（A）=r（A|b）=n

（3）無窮多解r（A）=r（A|b）＜n

5、解的性質：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解

（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解

【推廣】

（1）設η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為

        Ax=b的解  （當Σki=1）

        Ax=0的解  （當Σki=0）

（2）設η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個線性無關的解，則η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1為Ax=0的s-1個線性無關的解。

變式：η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2

η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

（三）基礎解系

6、基礎解系定義：

（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解

（2）ξ1，ξ2，…，ξs線性相關

（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示

基礎解系即所有解的極大無關組

注：基礎解系不唯一。

任意n-r（A）個線性無關的解均可作為基礎解系。

7、重要結論：（證明也很重要）

設A施m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O

（1）B的列向量均為方程Ax=0的解

（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）

8、總結：基礎解系的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質湊n-r（A）個線性無關的解

（2）A為數字的：A初等行變換階梯型

自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎解系

（四）解的結構（通解）

9、齊次線性方程組的通解（所有解）

設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎解系，

則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）

10、非齊次線性方程組的通解

設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎解系，η為Ax=b的特解，

則Ax=b的通解為η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）

（五）公共解與同解

11、公共解定義：

如果α既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱α為其公共解

12、非零公共解的充要條件：

方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解

 有非零解

13、重要結論（需要掌握證明）

（1）設A是m×n階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A）

（2）設A是m×n階矩陣，r（A）=n，B是n×s階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）

5 特征值與特征向量

（一）矩陣的特征值與特征向量

1、特征值、特征向量的定義：

設A為n階矩陣，如果存在數λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。

2、特征多項式、特征方程的定義：

|λE-A|稱為矩陣A的特征多項式（λ的n次多項式）。

|λE-A|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以寫為|A-λE|=0

3、重要結論：

（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。

（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。

4、總結：特征值與特征向量的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質湊

（2）A為數字的：由特征方程法求解

5、特征方程法：

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn

注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數，不能省略)

（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關的特征向量，即其基礎解系（共n-r（λiE-A）個解）

6、性質：

（1）不同特征值的特征向量線性無關

（2）k重特征值最多k個線性無關的特征向量

      1≤n-r（λiE-A）≤ki

（3）設A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii

（4）當r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

（5）設α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則

A

f（A）

AT

A-1

A*

P-1AP（相似）

λ

f（λ）

λ

λ-1

|A|λ-1

λ

α

α

/

α

α

P-1α

（二）相似矩陣

7、相似矩陣的定義：

設A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B

8、相似矩陣的性質

（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似

（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似

（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）

【推廣】

（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似

（三）矩陣的相似對角化

9、相似對角化定義：

如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ= ，

稱A可相似對角化。

注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量

10、相似對角化的充要條件

（1）A有n個線性無關的特征向量

（2）A的k重特征值有k個線性無關的特征向量

11、相似對角化的充分條件：

（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關）

（2）A為實對稱矩陣

12、重要結論：

（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數，n-r（A）為零特征值的個數

（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數

（四）實對稱矩陣

13、性質

（1）特征值全為實數

（2）不同特征值的特征向量正交

（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

6 二次型

（一）二次型及其標準形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩陣形式（常用）

2、標準形：

如果二次型只含平方項，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2

這樣的二次型稱為標準形（對角線）

3、二次型化為標準形的方法：

（1）配方法：

通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標準形。其中，可逆線性變換及標準形通過先配方再換元得到。

（2）正交變換法：

通過正交變換x=Qy，將二次型化為標準形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中，λ1，λ2，…，λn是A的n個特征值，Q為A的正交矩陣

注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi對應即可。

（二）慣性定理及規范形

4、定義：

正慣性指數：標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數，記為p；

負慣性指數：標準形中負平方項的個數稱為負慣性指數，記為q；

規范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2稱為二次型的規范形。

5、慣性定理：

二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數不變。

注：（1）由于正負慣性指數不變，所以規范形唯一。

（2）p=正特征值的個數，q=負特征值的個數，p+q=非零特征值的個數=r（A）

（三）合同矩陣

6、定義：

A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同

7、總結：n階實對稱矩陣A、B的關系

（1）A、B相似（B=P-1AP）相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）相同的正負慣性指數相同的正負特征值的個數

（3）A、B等價（B=PAQ）r（A）=r（B）

注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價

（四）正定二次型與正定矩陣

8、正定的定義

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。

9、n元二次型xTAx正定充要條件：

（1）A的正慣性指數為n

（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A的特征值均大于0

（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）

10、n元二次型xTAx正定必要條件：

（1）aii＞0

（2）|A|＞0

11、總結：二次型xTAx正定判定（大題）

（1）A為數字：順序主子式均大于0

（2）A為抽象：證A為實對稱矩陣：AT=A；再由定義或特征值判定

12、重要結論：

（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定